Százalékszámítás

A százalékszámítás az egyenes arányosság egy speciális változata, ahol általában az eredeti értéket vesszük 100 %-nak és ehhez képest számoljuk ki a százaléklábat (százalékban), vagy a százalékértéket.

Százalékszámításban használt elnevezések

• alap (Ezt vesszük 100 %-nak)
• százalékláb (%-ban adjuk meg)
• százalékérték

Az alap és a százalékérték bármilyen mennyiségek lehetnek, így a mértékegység is bármi lehet (pl. Ft, db, km...)

\( \frac{érték}{alap} = \frac{százalékláb \%}{100 \%} \)

Átrendezve:

\( {érték} = ( \frac{százalékláb \%}{100 \%} ) \cdot {alap} \)

A százalékban megadott százaléklábat 100-al osztva szorzószámként használhatjuk az egyenletekben. Így az egyenlet még egyszerűbb alakúvá válik.

százalékláb	szorzószám
120 %	1.2
105 %	1.05
100 %	1.0
80 %	0.8
50 %	0.5
20 %	0.2
4 %	0.04

\( {érték} = {szorzószám} \cdot {alap} \)

A szöveges feladatok értelmezésekor figyelnünk kell arra, hogy a szövegben megadott adatok nem mindig adják közvetlenül a százaléklábat, vagy a százalékértéket. Így gyakran adódik, hogy a megadott százalékos adat helyett más számmal kell számolnunk.

Néhány példa

1/a. Mennyiért kaphatjuk meg 20 %-os árleszállítás esetén az eredetileg 2400 Ft-ba kerülő sapkát?

Az alap a 2400 Ft, de a százalékláb nem 20 %, hiszen az a kedvezménynek felel meg és nem az új árnak. Az új ár az eredeti ár és a kedvezmény különbségeként kapható meg. Ezért a százalékláb 100 % - 20 % = 80 % lesz.

• alap (eredeti ár): 2400 Ft
• százalékláb: 100 % - 20 % = 80 % (szorzószám: 0.8)
• százalékérték (a sapka új ára): \( 0,8 \cdot 2400 {Ft} = \) 1920 Ft

1/b. Mennyiért kaphatjuk meg 20 %-os árleszállítás esetén az eredetileg 2400 Ft-ba kerülő sapkát?

A feladatot megoldhatjuk úgy is, ha először a kedvezményt számítjuk ki.

• alap (eredeti ár): 2400 Ft
• százalékláb: 20 % (szorzószám: 0.2)
• százalékérték (kedvezmény): \( 0,2 \cdot 2400 {Ft} = \) 480 Ft

Az új árat úgy kapjuk meg, ha az eredeti árból kivonjuk a kedvezményt: \( 2400 {Ft} - 480 {Ft} = \) 1920 Ft

2/a. Mennyit kamatozik egy év alatt a bankba tett 200 000 Ft 5 %-os kamat mellett?

Az alap a 200 ezer Ft, a százalékláb pedig 5 %.

• alap (eredeti összeg): 200 000 Ft
• százalékláb: 5 % (szorzószám: 0.05)
• százalékérték (kamat Ft-ban): \( 0,05 \cdot 200 000 {Ft} = \) 10 000 Ft

2/b. Mennyi lesz egy év múlva a bankba tett pénzünk 5 %-os kamat mellett?

Az alap a 200 ezer Ft, de a százalékláb nem 5 %, hiszen az csak a kamat, amellyel növekedett a pénzünk. Az új összeg eredeti összeg és a kamat összegeként kapható meg. Ezért a százalékláb 100 % + 5 % = 105 % lesz.

• alap (eredeti összeg): 200 000 Ft
• százalékláb: 100 % + 5 % = 105 % (szorzószám: 1.05)
• százalékérték (kamat Ft-ban): \( 1,05 \cdot 200 000 {Ft} = \) 210 000 Ft

3/a. Egy 30 fős osztály 60 %-a lány. Hány fiú jár az osztályba?

Az alap az egész osztály létszáma, azaz 30 fő, de a százalékláb nem a 60 %, hiszen az a lányok számának felel meg, a feladat viszont a fiúk számát kéri.

Az egész osztály felel meg 100 %-nak. Ez két részre oszlik: 60 % lány + 40 % fiú = 100 % egész osztály.

• alap (osztály létszáma): 30 fő
• százalékláb: 100 % - 60 % = 40 % (szorzószám: 0.4)
• százalékérték (fiúk száma): \( 0,4 \cdot 30 {fő} = \) 12 fő

3/b. Egy 30 fős osztály 60 %-a lány. Hány fiú jár az osztályba?

Ha a kérdés helyett a lányok számát határozzuk meg, akkor így alakul:

• alap (osztály létszáma): 30 fő
• százalékláb: 60 % (szorzószám: 0.6)
• százalékérték (lányok száma): \( 0,6 \cdot 30 {fő} = \) 18 fő

De még nem a kérdésre válaszoltunk. A helyes válasz: fiúk száma = 30 - 18 = 12 fő.