Egyenes arányosság

Két mennyiség akkor egyenesen arányos, ha az egyik valahányszorosára növekszik, akkor a másik is ugyanannyiszorosa lesz.

Egyenes arányosságot arról ismerjük fel, hogy ha az egyik mennyiség több/nagyobb lesz, akkor a másik is növekszik.

  • Ha az egyik mennyiséget duplájára növeljük, akkor a másik is duplázódik.
  • Ha az egyik mennyiséget háromszorosára növeljük, akkor a másik is háromszoros lesz.
  • Ha az egyik mennyiséget felére csökkentjük, akkor a másik is fele lesz.

Néhány példa egyenes arányosságra

  • Több kifli több pénzbe kerül (azonos egységár mellett).
  • Nagyobb kenyér több pénzbe kerül (azonos egységár mellett).
  • Hosszabb idő alatt több munkát lehet elvégezni (azonos sebességgel).
  • Nagyobb sebességgel több utat lehet megtenni (azonos idő alatt).

Megoldáskor kétféle elvet is követhetünk, de mindkét esetben az összetartozó számokat kell egymással összepárosítani.

\( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \)

1. Az adott mennyiségek eredeti és új értékeinek hányadosa egymással egyenlő.
Ez a hányados adja meg azt, hogy hányszorosára lettek változtatva a mennyiségek.

\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \) = állandó, arányszám

2. Az eredeti mennyiségek hányadosa és az új mennyiségek hányadosa is egyenlő egymással.
Ez a hányados sokszor egy harmadik mennyiséget ad meg. (pl. egységár, sebesség, eltelt idő)

1. példa az első megoldással: Mennyibe került volna 10 kifli, ha 4 kifliért 48 Ft-ot fizettünk.

  • Egymás alá írjuk az azonos mennyiségeket és melléjük írjuk a megfelelő értékeket. (kiflit kifli alá, forintot forint alá)
    \( \frac{4 {kifli}}{10 {kifli}} = \frac{48 {Ft}}{? {Ft}} \)
  • Elosztjuk azt az oldalt, amelynél nincs ismeretlen. Ez adja az arányt.
    \( \frac{4}{10} = 0,4 \)
  • Ezt az arányt odaírjuk a képlet mindkét oldala mellé az osztás jellel együtt.
    \( :0,4 \left ( \frac{4 {kifli}}{10 {kifli}} = \frac{48 {Ft}}{? {Ft}} \right ):0,4 \)
  • Elosztjuk az aránnyal a másik oldal felső adatát (vagy ha a felső az ismeretlen, akkor szorozzuk az alsó adatot) is és megkaptuk az ismeretlent
    \( \frac{48 {Ft}}{0,4} = 120 {Ft} \)

1. példa a második megoldással: Mennyibe került volna 10 kifli, ha 4 kifliért 48 Ft-ot fizettünk.

  • Egymás alá írjuk az eredeti mennyiségeket és melléjük írjuk az új mennyiségeket a megfelelő sorrendben. (kiflit kifli mellé, forintot forint mellé)
    \( \frac{? {Ft}}{10 {kifli}} = \frac{48 {Ft}}{4 {kifli}} \)
  • Elosztjuk azt az oldalt, amelynél nincs ismeretlen. Ez adja az arányt, jelen esetben a kifli árát.
    \( \frac{48}{4} = 12 \frac{Ft}{kifli}\)
  • Ezt az arányt odaírjuk a képlet mindkét oldala mellé az osztás jellel együtt.
    \( :12 \left ( \frac{? {Ft}}{10 {kifli}} = \frac{48 {Ft}}{4 {kifli}} \right ):12 \)
  • Elosztjuk az aránnyal a másik oldal felső adatát (vagy ha a felső az ismeretlen, akkor szorozzuk az alsó adatot) is és megkaptuk az ismeretlent
    \( 10 {kifli} \cdot 12 \frac{Ft}{kifli} = 120 {Ft} \)