Fordított arányosság

Két mennyiség akkor fordítottan arányos, ha az egyik valahányszorosára növekszik, akkor a másik ugyanannyiad részre csökken.

Fordított arányosságot arról ismerjük fel, hogy ha az egyik mennyiség több/nagyobb lesz, akkor a másik csökken.

  • Ha az egyik mennyiséget duplájára növeljük, akkor a másik a felére csökken.
  • Ha az egyik mennyiséget háromszorosára növeljük, akkor a másik a harmadára csökken.
  • Ha az egyik mennyiséget felére csökkentjük, akkor a másik a dupláráa növekszik.

Néhány példa fordított arányosságra

  • Nagyobb szilvásgombócból kevesebbet tudunk megenni (azonos étvággyal).
  • Drágább csokiból kevesebbet tudunk venni ugyanannyi pénzből.
  • Gyorsabb, nagyobb sebességű motorral kevesebb idő alatt tudjuk megtenni ugyanazt a távolságot.
  • Több ember kevesebb idő alatt tudja leszüretelni ugyanazt a sor szőlőt.

Megoldás szinte ugyanaz, mint az egyenes arányosságnál, de nem tehetünk egyenlőségjelet a hányadosok közé, hiszen ez nem egyenes, hanem fordított arányosság.

Az egyenlőséghez (csak) az egyik mennyiség értékeit felcseréljük egymással. Innen kezdve mindent ugyanúgy csinálhatunk, mint az egyenes arányosságnál.

\( \frac{x_1}{x_2} \ne \frac{y_1}{y_2} \)
\( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1} \)
\( \frac{x_1}{y_1} \ne \frac{x_2}{y_2} \)
\( \frac{x_2}{y_1} = \frac{x_1}{y_2} \)

1. példa az első megoldással: Ha 80 Ft-os csokiból 3 db-ot vehetünk, akkor ugyanannyi pénzért hány db 60 Ft-os csokit kaphatnánk?

  • Egymás alá írjuk az azonos mennyiségeket és melléjük írjuk a megfelelő értékeket. (csokit csoki alá, forintot forint alá) De itt még nem egyenlő egymással a két oldal, ezért az egyik mennyiség értékeit felcseréljük!!
    \( \frac{3 {csoki}}{? {csoki}} \ne \frac{80 {Ft}}{60 {Ft}} \)
    \( \frac{3 {csoki}}{? {csoki}} = \frac{60 {Ft}}{80 {Ft}} \)
  • Elosztjuk azt az oldalt, amelynél nincs ismeretlen. Ez adja az arányt.
    \( \frac{60}{80} = 0,75 \)
  • Ezt az arányt odaírjuk a képlet mindkét oldala mellé az osztás jellel együtt.
    \( :0,75 \left ( \frac{3 {csoki}}{? {csoki}} = \frac{60 {Ft}}{80 {Ft}} \right ):0,75 \)
  • Elosztjuk az aránnyal a másik oldal felső adatát (vagy ha a felső az ismeretlen, akkor szorozzuk az alsó adatot) is és megkaptuk az ismeretlent
    \( \frac{3 {csoki}}{0,75} = 4 {csoki} \)

1. példa a második megoldással: Ha 80 Ft-os csokiból 3 db-ot vehetünk, akkor ugyanannyi pénzért hány db 60 Ft-os csokit kaphatnánk?

  • Egymás mellé írjuk az azonos mennyiségeket és alájuk írjuk a megfelelő értékeket. (csokit csoki mellé, forintot forint mellé) De itt még nem egyenlő egymással a két oldal, ezért az egyik mennyiség értékeit felcseréljük!!
    \( \frac{80 {Ft}}{3 {csoki}} \ne \frac{60 {Ft}}{? {csoki}} \)
    \( \frac{60 {Ft}}{3 {csoki}} = \frac{80 {Ft}}{? {csoki}} \)
  • Elosztjuk azt az oldalt, amelynél nincs ismeretlen. Ez adja az arányt, jelen esetben a csoki árát.
    \( \frac{60}{3} = 20 \)
  • Ezt az arányt odaírjuk a képlet mindkét oldala mellé az osztás jellel együtt.
    \( :20 \left ( \frac{60 {Ft}}{3 {csoki}} = \frac{80 {Ft}}{? {csoki}} \right ):20 \)
  • Elosztjuk az aránnyal a másik oldal felső adatát (vagy ha a felső az ismeretlen, akkor szorozzuk az alsó adatot) is és megkaptuk az ismeretlent
    \( \frac{80 {Ft}}{20 {\frac{Ft}{csoki}}} = 4 {csoki} \)

3. megoldás azon alapszik, hogy a fordított arányosságnál a mennyiségek szorzata állandó. Ez a szorzat adja az adott feladatban (lásd a példákat) az elfogyasztandó ételmennyiséget, a vásárlásra szánt pénzt, a motoron megteendő távolságot, a szüretelési munkát.

\( {x_1} \cdot {y_1} = {x_2} \cdot {y_2} \) = állandó

Ha összehasonlítjuk a fenti két megoldással, akkor kiderül, hogy a törtek közös nevezőre hozása után teljesen megegyezik a fentiekkel. Éppen ezért akármelyik megoldással ugyanazt az eredményt kell kapnunk.