Hatványozás azonosságai

Az \( a^n \) formulát hatványnak nevezzük, ahol \( a \) a (hatvány)alap és \( {}^n \) a (hatvány)kitevő.

Azonos alapú hatványok szorzása

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk.

\( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \)

Tizes alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk.

\( 10^n \cdot 10^m = 10^{n+m} \)

• \( 10^{9} \cdot 10^{3} = 10^{9+3} = 10^{12} \)
• \( 10^{-8} \cdot 10^{-6} = 10^{(-8)+(-6)} = 10^{-14} \)

Azonos alapú hatványok osztása

Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk.

\( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)

Tizes alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk.

\( \frac{10^n}{10^m} = 10^{n-m} \)

• \( \frac{10^9}{10^3} = 10^{9-3} = 10^{6} \)
• \( \frac{10^{-8}}{10^{-6}} = 10^{(-8)-(-6)} = 10^{-2} \)

Hatvány hatványozása

Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket össze szorozzuk.

\( {(a^n)}^m = a^{n \cdot m} \)

• \( {(10^9)}^2 = 10^{9 \cdot 2} = 10^{18} \)
• \( {(10^{-9})}^2 = 10^{(-9) \cdot 2} = 10^{-18} \)

Azonos alapú hatványok összeadása, kivonása

Azonos alapú hatványok összeadására, kivonására nincs direkt szabály. Ha mégis szükség van rá, akkor (abszolútértékben) a nagyobb kitevőjű hatványt a hatványok szorzásának szabálya szerint tagoljuk, majd kiemeljük az összeadandó tagokból a kisebb hatványt.

• \( 10^9 + 10^{10} \) \( = 10^9 + 10^{9+1} \) \( = 10^9 + 10^9 \cdot 10^1 \) \( = 10^9 \cdot (1 + 10^1) \) \( = 10^9 \cdot 11 \) \( = 11 \cdot 10^9 \)
• \( 10^9 - 10^{10} \) \( = 10^9 - 10^{9+1} \) \( = 10^9 - 10^9 \cdot 10^1 \) \( = 10^9 \cdot (1 - 10^1) \) \( = 10^9 \cdot (-9) \) \( = -9 \cdot 10^9 \)

Ha túl nagy a kitevők közötti különbség, akkor adott helyzetben a (előjelesen) kisebb kitevős tag elhanyagolható lehet.

• \( 10^4 + 10^{10} \) \( = 10^4 + 10^{4+6} \) \( = 10^4 + 10^4 \cdot 10^6 \) \( = 10^4 \cdot (1 + 10^6) \) \( \approx 10^4 \cdot 10^6 \) \( = 10^{10} \)
• \( 10^{-4} - 10^{-10} \) \( = 10^{-4} - 10^{(-4)+(-6)} \) \( = 10^{-4} - 10^{-4} \cdot 10^{-6} \) \( = 10^{-4} \cdot (1 + 10^{-6}) \) \( \approx 10^{-4} \cdot 1 \) \( = 10^{-4} \)