Egyenletrendszerek megoldása

Ha egy egyenletben két, vagy több ismeretlen van, akkor önmagában nem oldható meg. Ahány ismeretlent szeretnénk kiszámolni, annyi egymástól független egyenletre van szükségünk.

Kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásához tehát két egyenlet kell.

Megoldási módszerek:

  • Egyenlő együtthatók módszere: egyszerűbb megoldás, de nem minden feladatban tudjuk alkalmazni.
  • Behelyettesítéses módszer: mindig működik.

1. példa

  • \( 2 \cdot x + 3 \cdot y = 18 \)
  • \( 3 \cdot x - 2 \cdot y = 1 \)
Egyenlő együtthatók módszerével:

Akkor tudjuk ezt a módszert alkalmazni, ha valamelyik ismeretlen együtthatóinak könnyen meg tudjuk állapítani a közös többszöröseit. Ebben az esetben vegyük az x ismeretlen együtthatóit. Az első egyenletben 2, a második egyenletben pedig 3. Így a közös többszörös lehet 6.

  • \( 2 \cdot x + 3 \cdot y = 18 \)     \( / \cdot 3 \)
  • \( 3 \cdot x - 2 \cdot y = 1 \)     \( / \cdot 2 \)

Az első egyenletletet megszorozzuk 3-mal, a második egyenletet pedig 2-vel:

  • \( 6 \cdot x + 9 \cdot y = 54 \)
  • \( 6 \cdot x - 4 \cdot y = 2 \)

Ha az x együtthatói egyforma előjelűek (plusz-plusz, vagy minusz-minusz), akkor kivonjuk az egyik egyenletet a másikból. Ha különböző előjelűek, akkor összeadjuk az egyenleteket. Lényeg, hogy az így kapott egyenletben lesz majd egy pozitív és egy negatív egyenlő együtthatós ismeretlen.

Szóval most kivonjuk az első egyenletből a második egyenletet. Használjunk zárójeleket akkor is, ha látszólag nem szükséges.

  • \( (6 \cdot x + 9 \cdot y) - (6 \cdot x - 4 \cdot y) = (54) - (2) \)

Felbontjuk a zárójeleket. (Kivonásnál megváltozik a zárójelben a műveleti jel.)

  • \( 6 \cdot x + 9 \cdot y - 6 \cdot x + 4 \cdot y = 54 - 2 \)

Elvégezzük az egyszerűsítéseket. Ha mindent jól csináltunk, akkor az x ismeretlen eltűnik.

  • \( 13 \cdot y = 52 \)     \( / : 13 \)

Megoldjuk y-ra a kapott egyenletet.

  • \( y = 4 \)

Majd ennek segítségével kiszámoljuk az x-et is. Ehhez bármelyik egyenletet választhatjuk és abba behelyettesíthetünk.

  • \( 3 \cdot x - 2 \cdot y = 1 \)
  • \( 3 \cdot x - 2 \cdot 4 = 1 \)
  • \( 3 \cdot x - 8 = 1 \)     \( / + 8 \)
  • \( 3 \cdot x = 9 \)     \( / : 3 \)
  • \( x = 3 \)

Megoldás:

  • \( x = 3 \)
  • \( y = 4 \)

1. példa

  • \( 2 \cdot x + 3 \cdot y = 18 \)
  • \( 3 \cdot x - 2 \cdot y = 1 \)
Behelyettesítéses módszerrel:

Valamelyik egyenletből kifejezzük valamelyik ismeretlent. Érdemes aszerint választani, hogy melyik ismeretlennek a legegyszerűbb az együtthatója.

Fejezzük ki az első egyenletből az x-et!

Ez azt jelenti, hogy addig alakítjuk az egyenletet, amíg az egyik oldalon kizárólag a kiejezendő egyenlet maradjon. Közben külön ügyelnünk kell a másik ismeretlenre, amely nem vonható össze a számokkal.

A cél tehát, hogy a bal oldalon csak x maradjon, így első lépésként az y-os tagot át kell vinnünk a túloldalra.

  • \( 2 \cdot x + 3 \cdot y = 18 \)     \( / - 3 \cdot y \)

Osztunk az x együtthatójával.

  • \( x = \frac{18 - 3 \cdot y}{2} \)

Írhatjuk tagonként osztva is:

  • \( x = 9 - \frac{3 \cdot y}{2} \)

Ezt követően a másik egyenletbe behelyettesítjük az x helyére kapott egyenlet jobb oldalán levő kifejezést:

  • \( 3 \cdot [x] - 2 \cdot y = 1 \)

Szögletes zárójellel kiemelve jobban látszódik, hogy az egyenlet többi részét ebben a lépésben változatlanul hagyjuk.

  • \( 3 \cdot [\frac{18 - 3 \cdot y}{2}] - 2 \cdot y = 1 \)

A kapott egyenletben már csak y van, így azt normál egyenletként megoldjuk. (Bontsuk fel a zárójelet, majd tüntessük el a törtet.)

  • \( \frac{54 - 9 \cdot y}{2} - 2 \cdot y = 1 \)     \( / \cdot 2 \)

A törtvonal önmagában is felér egy zárójellel, így annak eltüntetésekor mindig meg kell néznünk, hogy a zárójelnek van-e szerepe.

  • \( (54 - 9 \cdot y) - 4 \cdot y = 2 \)     \( / \cdot 2 \)

Ebben az esetben nincs szükség a zárójelre, így szabadon elhagyhatjuk, majd az y-os tagokat összevonhatjuk.

  • \( 54 - 13 \cdot y = 2 \)     \( / - 54 \)

Mivel az y-t szeretnénk megkapni, a többi tagot átvittük a túloldalra, majd osztunk (-13)-mal.

  • \( - 13 \cdot y = - 52 \)     \( / : (- 13) \)

Megkaptuk az egyik ismeretlent.

  • \( y = 4 \)

Az x kiszámolásához elővesszük azt az egyenletet, amelyben kifejeztük az x-et és behelyettesítjük y helyére a kapott eredményt.

  • \( x = \frac{18 - 3 \cdot y}{2} = \frac{18 - 3 \cdot 4}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Megoldás:

  • \( x = 3 \)
  • \( y = 4 \)

2. példa

  • \( \frac{x}{y} = 4 \)
  • \( x \cdot y = 100 \)
Behelyettesítéses módszerrel:

Ezt az egyenletet csak a behelyettesítéses módszerrel tudjuk megoldani, mivel mindkét ismeretlen mindkét egyenletben egy tagon belül szerepel.

Fejezzük ki az első egyenletből az x-et!

Azért ezt a lépést választottuk, mert így egycsapásra eltűnik a tört is, mivel y-al kell beszorozni mindkét oldalt.

  • \( \frac{x}{y} = 4 \)     \( / \cdot y \)
  • \( x = 4 \cdot y \)

Ezt követően a másik egyenletbe behelyettesítjük az x helyére kapott egyenlet jobb oldalán levő kifejezést:

  • \( [x] \cdot y = 100 \)

Szögletes zárójellel kiemelve jobban látszódik, hogy az egyenlet többi részét ebben a lépésben változatlanul hagyjuk.

  • \( [4 \cdot y] \cdot y = 100 \)

Felbontjuk a zárójelet, majd kiszámoljuk az y-t.

  • \( 4 \cdot y^2 = 100 \)     \( / : 4 \)
  • \( y^2 = 25 \)     \( / \sqrt{} \) (gyököt vonunk)

Megkaptuk az egyik ismeretlent.

  • \( y = 5 \), vagy \( y = {-5} \)

FONTOS megjegyezni, hogy nem csak \( {5}^2 = 25 \), hanem \( {(-5)}^2 = 25 \) is. Így innen kezdve két megoldása van az egyenletrendszernek.

Az x kiszámolásához elővesszük azt az egyenletet, amelyben kifejeztük az x-et és behelyettesítjük y helyére a kapott eredményt.

  • \( x = 4 \cdot y = 4 \cdot 5 = 20 \)

Megkaptuk mindkét ismeretlent.

  • \( x = 20 \)
  • \( y = 5 \)

Ha az y helyére a -5-öt helyettesítjük, akkor az x-re is negatív számot kapunk.

  • \( x = 4 \cdot y = 4 \cdot {(-5)} = {-20} \)

Így a másik megoldás:

  • \( x = -20 \)
  • \( y = -5 \)